Question

【題目】如圖，已知直線AB的函數解析式為y＝2x＋10，與y軸交于點A，與x軸交于點B.

（1）求A，B兩點的坐標；

（2）若點P（a，b）為線段AB上的一個動點，作PE⊥y軸于點E，PF⊥x軸于點F，連接EF，問：

①若△PBO的面積為S，求S關于a的函數解析式；

②是否存在點P，使EF的值最小？若存在，求出EF的最小值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）A（0，10），B（－5，0）；（2）①S＝5a＋25（－5≤a≤0）；②存在點P使得EF的值最小，最小值為2.

【解析】（1）由直線AB解析式，令x=0與y=0分別求出y與x的值，即可確定出A與B的坐標；

（2）①把P坐標代入直線AB解析式，得到a與b的關系式，三角形POB面積等于OB為底邊，P的縱坐標為高，表示出S與a的解析式即可；

②存在，理由為：利用三個角為直角的四邊形為矩形，得到四邊形PFOE為矩形，利用矩形的對角線相等得到EF=PO，由O為定點，P為動點，得到OP垂直于AB時，OP取得最小值，利用面積法求出OP的長，即為EF的最小值．

（1）對于直線AB的解析式y＝2x＋10，

令x＝0，得到y＝10，

令y＝0，得到x＝－5，

則A（0，10），B（－5，0）；

（2）連接OP，如圖，

①∵P（a，b）在線段AB上，∴b＝2a＋10，

由0≤2a＋10≤10，得到－5≤a≤0，

由（1）得OB＝5，

∴＝OB·（2a＋10），

則S＝（2a＋10）＝5a＋25（－5≤a≤0）；

②存在，理由：

∵∠PFO＝∠FOE＝∠OEP＝90°，

∴四邊形PFOE為矩形，∴EF＝PO，

∵O為定點，P在線段AB上運動，

∴當OP⊥AB時，OP取得最小值，

∵AB·OP＝OB·OA，

即×5·OP＝×5×10，解得OP＝2，

∴EF＝OP＝2，

綜上，存在點P使得EF的值最小，最小值為2.