Question

如圖，直線MN與x軸，y軸分別相交于A，C兩點，分別過A，C兩點作x軸，y軸的垂線相交于B點，且OA，OC（OA＞OC）的長分別是一元二次方程x²﹣14x+48=0的兩個實數根．

（1）求C點坐標；
（2）求直線MN的解析式；
（3）在直線MN上存在點P，使以點P，B，C三點為頂點的三角形是等腰三角形，請直接寫出P點的坐標．

Answer 1

（1）C（0，6）。
（2）y=x+6。
（3）P₁（4，3），P₂（）P₃（），P₄（）。

解析試題分析：（1）通過解方程x²﹣14x+48=0可以求得OC=6，OA=8．則C（0，6）。
解方程x²﹣14x+48=0得x₁=6，x₂=8。
∵OA，OC（OA＞OC）的長分別是一元二次方程x²﹣14x+48=0的兩個實數根，
∴OC=6，OA=8．∴C（0，6）。
（2）設直線MN的解析式是y=kx+b（k≠0），把點A、C的坐標分別代入解析式，列出關于系數k、b的方程組，通過解方程組即可求得它們的值。
設直線MN的解析式是y=kx+b（k≠0），
由（1）知，OA=8，則A（8，0）。
∵點A、C都在直線MN上，
∴，解得。
∴直線MN的解析式為y=x+6。
（3）需要分類討論：PB為腰，PB為底兩種情況下的點P的坐標．根據等腰三角形的性質、勾股定理以及一次函數圖象上點的坐標特征進行解答：

∵A（8，0），C（0，6），∴根據題意知B（8，6）。
∵點P在直線MN：y=x+6上，∴設P（a， a+6）。
當以點P，B，C三點為頂點的三角形是等腰三角形時，需要分類討論：
①當PC=PB時，點P是線段BC的中垂線與直線MN的交點，則P₁（4，3）。
②當PC=BC時，a²+（a+6﹣6）²=64，解得，a=，則P₂（），P₃（）。
③當PB=BC時，（a﹣8）²+（a+6﹣6）²=64，解得，a=，則P₄（）。
綜上所述，符合條件的點P有：P₁（4，3），P₂（）P₃（），P₄（）。