Question

【題目】如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，∠BAC的角平分線AE交⊙O于點E，交BC于點D，過點E作直線l∥BC．

（1）判斷直線l與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若在AE上取一點F使EF=BE，求證：BF是∠ABC的平分線；

（3）在（2）的條件下，若DE=3，BE=5，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）直線l與⊙O相切，見解析；（2）見解析；（3）AE=．

【解析】

（1）連接OE，由AE平分∠BAC知=，據此得OE⊥BC，根據l∥BC可得OE⊥l，從而得證；

（2）由BE=EF知∠EBF=∠EFB，由∠EFB=∠BAE+∠ABF、∠EBF=∠CBE+∠CBF及∠CBE=∠CAE=∠BAE可得∠ABF=∠CBF，從而得證；

（3）證△BED∽△AEB得=，據此可得答案．

（1）直線l與⊙O相切，

如圖1，連接OE，

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=∠CAE，

∴=，

∴半徑OE⊥BC，

∵l∥BC，

∴OE⊥l，

∴直線l與⊙O相切；

（2）∵BE=EF，

∴∠EBF=∠EFB，

∵∠EFB=∠BAE+∠ABF，∠EBF=∠CBE+∠CBF，

∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF，

∵∠CBE=∠CAE=∠BAE，

∴∠ABF=∠CBF，

∴BF平分∠ABC；

（3）∵∠DBE=∠BAE，∠DEB=∠BEA，

∴△BED∽△AEB，

∴=，即=，

解得：AE=．