Question

已知△ABC是邊長為1cm的等邊三角形，以BC為邊作等腰三角形BCD，使得DB=DC，且∠BDC=120°，點M是AB邊上的一個動點，作∠MDN交AC邊于點N，且滿足∠MDN=60°，則△AMN的周長為

2

．

Answer 1

分析：可在AC延長線上截取CM₁=BM，得Rt△BDM≌Rt△CDM₁，得出邊角關系，再求解△MDN≌△M₁DN，得MN=NM₁，再通過線段之間的轉化即可得出結論．

解答：證明：如圖，在AC延長線上截取CM₁=BM，
∵△ABC是等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
∴∠DCM₁=90°，
∵BD=CD，
∵在Rt△BDM≌Rt△CDM₁中，
 BD=CD∠ABD=∠DCM₁=90° CM₁=BM，
∴Rt△BDM≌Rt△CDM₁（SAS），
得MD=M₁D，∠MDB=∠M₁DC，
∴∠MDM₁=120°-∠MDB+∠M₁DC=120°，
∴∠NDM₁=60°，
∵MD=M₁D，∠MDN=∠NDM₁=60°，DN=DN，
∴△MDN≌△M₁DN，
∴MN=NM₁，
故△AMN的周長=AM+MN+AN=AM+AN+NM₁=AM+AM₁=AB+AC=2．
故答案是：2．

點評：本題主要考查了全等三角形的判定及性質問題，能夠通過線段之間的轉化進而求解一些簡單的結論．