Question

如圖，已知△ABC是邊長為2

3

的等邊三角形．點E、F分別在CB和BC的延長線上，且∠EAF=12O°，設BE=x，CF=y．
（1）求y與x的函數表達式，并求出自變量x的取值范圍．
（2）當x為何值時，△ABE≌△FCA．

Answer 1

分析：（1）由已知可推出∠E=∠CAF，根據外角的性質可得∠EBA=∠ACF，從而可判定△ABE∽△FCA，根據相似三角形的對應邊對應成比例即可表示出x與y的關系，從而不難求解．
（2）根據全等三角形的對應邊相等可以求得x的值．

解答：解：（1）解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=60°．
∵∠EAF=120°，
∴∠EAB+∠CAF=60°
∵∠EAB+∠E=∠ABC=60°
∴∠E=∠CAF
∵∠EBA=∠ACF=120°
∴△ABE∽△FCA，
∴EB：AC=BA：CF，即x：2

3

=2

3

：y
∴y=

12

x

（自變量x的取值范圍為x＞0）．即y與x的函數表達式是y=

12

x

（x＞0）．

（2）若△ABE≌△FCA時，BE=CA，即x=2

3

．
所以，當x=2

3

時，△ABE≌△FCA．

點評：本題考查了全等三角形的性質、等邊三角形的性質以及相似三角形的判定與性質．等邊三角形的性質：等邊三角形的三個內角都相等，且都等于60°．