Question

【題目】如圖，把長(zhǎng)方形紙片OABC放入平面直角坐標(biāo)系中，使OA，OC分別落在x軸、y軸上，連接AC，將紙片OABC沿AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)D的位置，AD與y軸交于點(diǎn)E，若B(4，8).

(1)△AEC是等腰三角形嗎?請(qǐng)證明；

(2)求點(diǎn)D的橫坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）D(-，).

【解析】

（1）由翻折可知∠BAC=∠DAC，由OC∥AB可得∠OCA=∠BAC，所以∠EAC=∠ACE，即可證明△AEC是等腰三角形；

(2) 首先過(guò)點(diǎn)D作DF⊥OA于F，由四邊形OABC是矩形與折疊的性質(zhì)，易證得△AEC是等腰三角形，然后在Rt△AEO中，利用勾股定理求得AE，OE的長(zhǎng)，然后等積求高法得DF的長(zhǎng)，利用勾股定理得EF得長(zhǎng)，即可得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)．

⑴證明：由翻折可知，∠BAC=∠DAC，∵OC∥AB，∴∠OCA=∠BAC，

∴∠EAC=∠ACE，∴AE=CE，即△AEC是等腰三角形.

⑵

如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于F，由(1)，令AE=CE=x，則OE=8-x，

在Rt△OEA中，由勾股定理，(8-x)2+42=x2，

解得x=5，∴AE=CE=5，OE=DE=3，在Rt△CDE中，由等積求高法，得DF=，

利用勾股定理，EF=，于是OF=3+=，DF=，

∴D(-，).