Question

（2011•南崗區一模）Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD為高線，點E在邊BC上，且BE=2EC，連接AE，EF⊥AE，與邊AB相交于點F．
（1）如圖1，當tan∠BAC=1時，求證：EF=2EG
（2）如圖2，當tan∠BAC=2時，則線段EF、EG的數量關系為

EF=EG

；
（3）如圖3，在（2）的條件下，將∠FEG繞點E順時針旋轉α，旋轉后EF邊所在的直線與邊AB相交于點F′，EG邊所在的直線與邊AC相交于點H，與高線CD相交于點G′，若AH=3

5

，且

FF′

CG′

=

2

7

，求線段G′H的長．

Answer 1

分析：（1）根據tan∠BAC=1=tan45°，得出△ABC為等腰直角三角形，再過E點作EK⊥BC，EK與CD相交于點K，得出∠GKE=45°=∠B，再根據∠GEK+∠KEF=90°=∠KEF+∠BEF，得出△GEK∽△FEB，從而證出

EG

EF

=

EK

BE

=

EC

BE

=

EC

2EC

=

1

2

，即可得出EF=2EG；
（2）根據（1）的證明過程，同理可證出當tan∠BAC=2時，得出EF=EG；                              
（3）根據（2）的結論，先設AC=3k，得出BC=6k，EC=

1

3

EC=2k，再過點E作EM⊥BC，EM與CD的延長線相交于點M，得出△AGC∽△EGM，得出

AG

GE

=

AC

EM

=

3k

4k

=

3

4

，再過點G作GN∥EH，與AH相交于點N，得出△ANG∽△AHE，得出NH的值，同理得出△GEM∽△FEB，得出EF=EG．同理可證EF′=EG′，∠FEF'=∠GEG'，得出△GEG'≌△FEF'，即可證出

GG′

G′C

=

FF′

G′C

的值，再根據HG′∥NG，同理可證

CH

CN

=

G′C

CG

，得出EC=CH，得出△HCE是等腰直角三角形，在△HG'C中，求出CW的值，從而得出G′H 的值．

解答：（1）證明：在R_t△ABC中，tan∠BAC=1=tan45°，
∴∠BAC=45°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°．
∴△ABC為等腰直角三角形，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD=45°，
過E點作EK⊥BC，EK與CD相交于點K，
∴∠GKE=45°=∠B
∵∠GEK+∠KEF=90°=∠KEF+∠BEF，
∴∠GEK=∠FEB，
∴△GEK∽△FEB，
∴

EG

EF

=

EK

BE

=

EC

BE

=

EC

2EC

=

1

2

，
∴EF=2EG；
（2）根據（1）的證明，同理可證：
當tan∠BAC=2時，EF=EG；                              
（3）在R_t△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
則tan∠BAC=tan∠CAD=tan∠BCD=2，
設AC=3k，則BC=6k，EC=

1

3

BC=2k，
過點E作EM⊥BC，EM與CD的延長線相交于點M，tan∠ECM=2，
∴EM=4k．
在△AGC與△EGM中，
∵AC∥EM，
∴∠ACG=∠M．∠AGC=∠EGM，
∴△AGC∽△EGM
∴

AG

GE

=

AC

EM

=

3k

4k

=

3

4

                    
過點G作GN∥EH，與AH相交于點N，
∴△ANG∽△AHE，
∴

AN

AH

=

AG

AE

=

3k

3k+4k

=

3

7

=

AN

3 5

，
∴AN=

9

7

5

，∴NH=AH-AM=

12

7

5

                  
∠GEM+∠MEF=90°=∠MEF+∠FEB，
∴∠GEM=∠FEB，
∠M=∠B，
∴△GEM∽△FEB，
∴

EG

EF

=

EM

BE

=

2EC

2EC

=1，
∴EF=EG．
同理可證EF′=EG′．∠FEF'=∠GEG'，
∴△GEG'≌△FEF'，
∴FF'=GG'，
∴

GG′

G′C

=

FF′

G′C

=

2

7

．
HG′∥NG，同理可證

CH

CN

=

G′C

CG

，
∴

CH

CH+NH

=

7

7+2

=

7

9

，
∴CH=6

5

，
∴AC=CH+AH=9

5

，
∴EC=

2

3

AC=6

5

=CH
∴△HCE是等腰直角三角形，∠CHE=45°，
在△HG'C中，過點G'作G'W⊥CH，垂足是W，
設G'W=x，則HW=x，tan∠G′CW=tan∠DCA=

1

2

，
∴CW=2x，CW+HW=CH，
∴2x+x=3x=6

5

，
∴x=2

5

，
∴G′H=

2

x=2

10

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質；解決本題的關鍵是根據直角三角形的性質以及相似三角形的性質得到它們的比值進行計算即可．