Question

【題目】如圖，反比例函數 (，)的圖象與直線相交于點C，過直線上點A(1，3)作AB⊥x軸于點B，交反比例函數圖象于點D，且AB=3BD．

（1）求k的值；

（2）求點C的坐標；

（3）在y軸上確定一點M，使點M到C、D兩點距離之和d=MC+MD最小，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）（， ）；（3） M（0，2﹣2）．

【解析】（1）根據A坐標，以及AB=3BD求出D坐標，代入反比例解析式求出k的值；

（2）直線y=3x與反比例解析式聯立方程組即可求出點C坐標；

（3）作C關于y軸的對稱點C′，連接C′D交y軸于P，則P點即為所求，利用待定系數法求出直線C′D的解析式，進而可得出M點坐標．

解：A（1，3），

∴AB=3，OB=1，

∵AB=3BD，

∴BD=1，

∴D（1，1）

將D坐標代入反比例解析式得：k=1；

（2）由（1）知，k=1，

∴反比例函數的解析式為；y=，解：，

解得：或，

∵x＞0，

∴C（，）；

（3）如圖，作C關于y軸的對稱點C′，連接C′D交y軸于M，則d=MC+MD最小，

∴C′（﹣，），

設直線C′D的解析式為：y=kx+b，

∴，∴，

∴y=（﹣3+2）x+2﹣2，

當x=0時，y=2﹣2， ∴M（0，2﹣2）．

“點睛”此題考查的是反比例函數綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，待定系數法確定函數解析式，以及直線與反比例的交點求法，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．