Question

【題目】已知正方形 ABCD，E 在線段 BC 上，F 在線段 CD 上．

（1）如圖 1，連接 EF，若EAF =45，求證：BE+DF=EF；

（2）如圖 2，連接 EF，若DAE=AEF ，且 2BE=CE，求的值；

（3）如圖 3，連接 BD，線段 AE、AF 分別交 BD 于點 N、M．已知GEB=90 ，DM=MG=4，NG=1，請直接寫出線段AF 的長度．

Answer 1

【答案】（1）證明詳見解析；（2）1；（3）

【解析】

（1）如圖，延長CB至M，使BM=DF，連接AM，證明△ABM≌△ADF，則AF=AM，進而可證明△AEF≌△AEM，可得ME=EF ，進而可得BE+DF=EF；

（2）如圖，延長AD，EF交于點M。過M作MN⊥BC交BC的延長線于N，設BE=x，DM=y，則根據已知條件和正方形的性質，可求，，，，再根據勾股定理在Rt△ENM中可計算出，再證△DMF∽△CEF，根據相似比即可求得的值；

（3）設，易證△GNE∽△BNA，根據相似比可求得，再由△AMF∽△BMA，可得，即可得，再在Rt△ADF中，由勾股定理即可求得的長．

解：（1）如圖，延長CB至M，使BM=DF，連接AM，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠ABM=∠ADF=90°，AD=AB，

∴△ABM≌△ADF，

∴AF=AM，

∵∠EAF=45°，

∴，

∵，

∴△AEF≌△AEM，

∴ME=EF，

∴，

即BE+DF=EF得證；

（2）如圖，延長AD，EF交于點M。過M作MN⊥BC交BC的延長線于N，

設BE=x，DM=y，

∴，，，

∵DAE=AEF

∴，

在Rt△ENM中，由勾股定理可得：，

解得：，

又∵AM∥BN，

∴∠DMF=∠FEC，

∵∠MDF=∠CEF=90°，

∴△DMF∽△CEF，

∴，

即；

（3）設，

∵GEB=90，

∴GE⊥AB，且∠ABG=∠EBG=45°，

易證△GNE∽△BNA，

∴，

即，，

解得：，

∴，，

又∵AB∥DC，

∴△DMF∽△BMA，

∴，

∴，

∴在Rt△ADF中，，

故．