Question

如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=ax²+6x+c的圖象經過點A（4，0）、B（﹣1，0），與y軸交于點C，點D在線段OC上，OD=t，點E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=，EF⊥OD，垂足為F．

（1）求這個二次函數的解析式；
（2）求線段EF、OF的長（用含t的代數式表示）；
（3）當△ECA為直角三角形時，求t的值．

Answer 1

（1）y=﹣2x²+6x+8；（2）EF=t，OF=t﹣2；（3）或8

試題分析：（1）由二次函數的圖象經過點A（4，0）、B（﹣1，0）根據待定系數法求解；
（2）先根據同角的余角相等可得∠DEF=∠ODA，即可證得△EDF∽△DAO，根據相似三角形的性質可得，即可得到EF的長，同理可得DF的長，即可求得OF的長；
（3）先求的拋物線與y軸的交點C，即得OC的長，過E點作EM⊥x軸于點M，則在Rt△AEM中，EM=OF=t﹣2，AM=OA+AM=OA+EF=4+t，分當∠CEA=90°時，當∠ECA=90°時，兩種情況，根據勾股定理列方程求解即可.
（1）二次函數y=ax²+6x+c的圖象經過點A（4，0）、B（﹣1，0），
∴，解得，
∴這個二次函數的解析式為：y=﹣2x²+6x+8；
（2）∵∠EFD=∠EDA=90°
∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°，
∴∠DEF=∠ODA
∴△EDF∽△DAO
∴．
∵，
∴=，
∴，
∴EF=t．
同理，
∴DF=2
∴OF=t﹣2．
（3）∵拋物線的解析式為：y=﹣2x²+6x+8，
∴C（0，8），OC=8．
如圖，過E點作EM⊥x軸于點M

則在Rt△AEM中，EM=OF=t﹣2，AM=OA+AM=OA+EF=4+t，
當∠CEA=90°時，CE²+AE²=AC²

解得
當∠ECA=90°時，CE²+AC²=AE²

解得
即點D與點C重合.
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．