Question

【題目】如圖，拋物線交軸于，兩點，交軸于點C，與過點C且平行于x軸的直線交于另一點，點P是拋物線上一動點．

（1）求拋物線解析式及點D的坐標；

（2）點在軸上，若以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，求此時點的坐標；

（3）過點作直線CD的垂線，垂足為，若將沿翻折，點的對應點為．是否存在點，使恰好落在軸上？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；點坐標為； （2）P1(0,2)； P2(,-2)；P3(,-2) ; （3）滿足條件的點有兩個，其坐標分別為：（， ），（，）．

【解析】

1)用待定系數法可得出拋物線的解析式,令y=2可得出點D的坐標

(2)分兩種情況進行討論,①當AE為一邊時,AE∥PD,②當AE為對角線時,根據平行四邊形對頂點到另一條對角線距離相等,求解點P坐標

(3)結合圖形可判斷出點P在直線CD下方,設點P的坐標為(，),分情況討論,①當P點在y軸右側時,②當P點在y軸左側時,運用解直角三角形及相似三角形的性質進行求解即可

（1）∵拋物線經過，兩點，

∴，解得：，，

∴拋物線解析式為：；

當時，，解得：，（舍），即：點坐標為．

（2）∵，兩點都在軸上，∴有兩種可能：

①當為一邊時，∥，此時點與點重合（如圖1），∴，

②當為對角線時，點、點到直線（即軸）的距離相等，

∴點的縱坐標為（如圖2），

把代入拋物線的解析式，得：，

解得：，，

∴點的坐標為，，

綜上所述：； ； ．

（3）存在滿足條件的點，顯然點在直線下方，設直線交軸于，

點的坐標為（，），

①當點在軸右側時（如圖3），

，

，

又∵，

∴,

又，∴，

∴，

∵，，，∴，∴，

∴，＝＝，

即，∴點的坐標為（，），

②當點在軸左側時（如圖4），

此時，，＝＝，

＝－（）＝，

又∵，，

∴，又

∴，∴，

∵，，，

∴，∴，

∴，

＝＝，

此時，點的坐標為（，）．

綜上所述，滿足條件的點有兩個，其坐標分別為：（，），（，）．