Question

【題目】在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC= ，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△A1B1C．
（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)B1在線段BA延長(zhǎng)線上時(shí)．①求證：BB1∥CA1；②求△AB1C的面積；

（2）如圖②，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，在△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是F1 ， 求線段EF1長(zhǎng)度的最大值與最小值的差．

Answer 1

【答案】
（1）解：①證明：∵AB=AC，B1C=BC，

∴∠AB1C=∠B，∠B=∠ACB，

∵∠AB1C=∠ACB（旋轉(zhuǎn)角相等），

∴∠B1CA1=∠AB1C，

∴BB1∥CA1；

②過(guò)A作AF⊥BC于F，過(guò)C作CE⊥AB于E，如圖①：

∵AB=AC，AF⊥BC，

∴BF=CF，

∵cos∠ABC= ，AB=5，

∴BF=3，

∴BC=6，

∴B1C=BC=6，

∵CE⊥AB，

∴BE=B1E= ，

∴BB1= ，CE= ，

∴AB1= ，

∴△AB1C的面積為：

（2）解：如圖2，過(guò)C作CF⊥AB于F，以C為圓心CF為半徑畫(huà)圓交BC于F1，EF1有最小值，

此時(shí)在Rt△BFC中，CF= ，

∴CF1= ，

∴EF1的最小值為 ；

如圖，以C為圓心BC為半徑畫(huà)圓交BC的延長(zhǎng)線于F1，EF1有最大值；

此時(shí)EF1=EC+CF1=3+6=9，

∴線段EF1的最大值與最小值的差為

【解析】（1）①先依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證明∠B1CA1=∠AB1C，最后，再依據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；②過(guò)A作AF⊥BC于F，過(guò)C作CE⊥AB于E，根據(jù)三角函數(shù)的定義和三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）過(guò)C作CF⊥AB于F，以C為圓心CF為半徑畫(huà)圓交BC于F1，以C為圓心BC為半徑畫(huà)圓交BC的延長(zhǎng)線于F1，依據(jù)圖形可得到EF取得最大值和最小值的條件，最后，再求得兩條線段的差即可.