Question

【題目】在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3，D為AB的中點，點P是AB上的一個動點，PE⊥AC于點E，PF⊥BC于點F．

（1）求證：AE=PE；

（2）求證：DE=DF；

（3）連接EF，EF的最小值是多少？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】分析：(1)證明△AEP是等腰直角三角形；(2)連接CD，用SAS證明△AED≌△CFD；(3)利用CP＝EF，即為求CP的最小值，當CP⊥AB時，CP取最小值.

詳解：(1)∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝45°.

∵PE⊥AC，∴∠AEP＝90°，∴∠APE＝90°－45°＝45°，

∴∠EAP＝∠APE，∴AE＝EP.

(2)連接CD，

∵∠C＝90°，D為AB的中點，∴CD＝AD.

∵AC＝BC，∴∠DCF＝45°，∴∠A＝∠FCD，

∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠CEP＝∠CFP＝90°，

∴四邊形CEPF是矩形，∴PE＝CF，∴AE＝CF，

∴△AED≌△CFD(SAS)，∴DE＝DF.

(3)∵四邊形CEPF是矩形，所以EF＝CP.

∴EF最小時，CP也最小.

由垂線段最短得，當CP⊥AB時，CP最短，此時，點P與點D重合.

∵△ACP是等腰直角形，∴CP＝.

則EF的最小值是.