Question

（10分）如圖，以線段AB為直徑的⊙O交線段AC于點E，點D是AE的中點，連接OD并延長交⊙O于點M，∠BOE=60°，cosC=，BC=．

（1）求的度數；

（2）求證：BC是⊙的切線；

（3）求弧AM的長度．

Answer 1

（1）30°；（2）證明見試題解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）根據三角函數的知識即可得出∠A的度數．

（2）要證BC是⊙O的切線，只要證明AB⊥BC即可．

（3）根據垂徑定理求得∠AOM=60°，運用三角函數的知識求出OA的長度，即可求得弧AM的長度．

試題解析：（1）∵OA=OE，∴∠A=∠OEA，∵∠BOE=∠A+∠OEA=2∠A，∴∠A=∠BOE=×60°=30°；

（2）在△ABC中，∵cosC=，∴∠C=60°，又∵∠A=30°，∴∠ABC=90°，∴AB⊥BC，∵AB為直徑，∴BC是⊙O的切線；

（3）∵點D是AE的中點，∴OM⊥AE，∵∠A=30°，∴∠AOM=60°，在RT△ABC中，tanC=，∵BC=，∴AB=BC•tanC==6，∴OA=AB=3，∴弧AM的長==π．

考點：切線的判定．