Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點O是對角線AC上一點，以OC為半徑的⊙O與CD交于點M，且∠BAC=∠DAM．

（1）求證：AM與⊙O相切；
（2）若AM=3DM，BC=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OM．

在矩形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°

∴∠BAC=∠DCA，

∵OM=OC，

∴∠OMC=∠OCM．

∵∠BAC=∠DAM，

∴∠DAM=∠OMC．

∴∠OMC+∠DMA=∠DAM+∠DMA．

在△DAM中，∠D=90°，

∴∠DAM+∠DMA=180°﹣90°=90°．

∴∠OMC+∠DMA=90°．

∴∠AMO=90°，

∴AM⊥MO．

點M在⊙O上，OM是⊙O的半徑，

∴AM與⊙O相切．

（2）在△BAC與△DAM中，

∵∠BAC=∠DAM，∠B=∠D，

∴△BAC∽△DAM，

∴ ，

∴ ．

∵AM=3DM，

∴AC=3BC．BC=2，

∴AC=6，

在△DAM中，DM2+AD2=AM2

即DM2+22=（3DM）2

解得DM= ．AM= ．

在△AMO中，AM2+MO2=AO2

即（ ）2+MO2=（6﹣MO）2．

解得MO= ．

【解析】（1）根據矩形的性質和等邊對等角得到AM⊥MO，由點M在⊙O上，OM是⊙O的半徑，得到AM與⊙O相切；（2）根據兩角相等兩三角形相似，得到△BAC∽△DAM，得到比例，求出AC的值，在△DAM中，根據勾股定理求出MO的值.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的判定與性質的相關知識，掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．