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已知：如圖，正方形ABCD中，點E為AD邊的中點，聯結CE．
求cos∠ACE和tan∠ACE的值．

；

．

試題分析：過點E作EF⊥AC于點F，設AE=DE=x，則AD=DC=2x，利用三角函數的關系分別表示出CE、CF的長度，從而利用三角函數的表示方法可得出cos∠ACE和tan∠ACE的值．
試題解析：如圖，過點E作EF⊥AC于點F，
∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∠D=90°，AC平分∠BAD，AD=DC．
∴∠CAD=45°，

．
∵E是AD中點，∴

．
設AE=DE=x，則

．
在Rt△AEF中，

．
∴

，

．

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如圖，有小島A和小島B，輪船以45km/h的速度由C向東航行，在C處測得A的方位角為北偏東60°，測得B的方位角為南偏東45°，輪船航行2小時后到達小島B處，在B處測得小島A在小島B的正北方向．求小島A與小島B之間的距離（結果保留整數，參考數據：

≈1.41，

≈2.45）

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將兩塊全等的三角板如圖①擺放，其中∠A₁CB₁=∠ACB=90°，∠A₁=∠A=30°．
（1）將圖①中的△A₁B₁C順時針旋轉45°得圖②，點P₁是A₁C與AB的交點，點Q是A₁B₁與BC的交點，求證：CP₁=CQ；
（2）在圖②中，若AP₁=2，則CQ等于多少？
（3）如圖③，在B₁C上取一點E，連接BE、P₁E，設BC=1，當BE⊥P₁B時，求△P₁BE面積的最大值．

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已知：BD是四邊形ABCD的對角線，AB⊥BC，∠C=60°，AB=1，BC=

，CD=

.
（1）求tan∠ABD的值；
（2）求AD的長.

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在東西方向的海岸線l上有一長為1千米的碼頭MN，在碼頭西端M的正西方向30 千米處有一觀察站O．某時刻測得一艘勻速直線航行的輪船位于O的北偏西30°方向，且與O相距

千米的A處；經過40分鐘，又測得該輪船位于O的正北方向，且與O相距20千米的B處．
（1）求該輪船航行的速度；
（2）如果該輪船不改變航向繼續航行，那么輪船能否正好行至碼頭MN靠岸？請說明理由．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在同一平面內，兩條平行高速公路l₁和l₂間有一條“Z”型道路連通，其中AB段與高速公路l₁成30°角，長為20km；BC段與AB、CD段都垂直，長為10km，CD段長為30km，求兩高速公路間的距離（結果保留根號）．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，自來水公司的主管道從A小區向北偏東60°方向直線延伸，測繪員在A處測得要安裝自來水的M小區在A小區北偏東30°方向，測繪員沿主管道測量出AC=200米，小區M位于C的北偏西60°方向，
（1）請你找出支管道連接點N，使得N到該小區鋪設的管道最短．（在圖中標出點N的位置）
（2）求出AN的長．

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科目：初中數學 來源：不詳 題型：解答題

上午8時，一艘輪船從A處出發以每小時20海里的速度向正北航行，10時到達B處，則輪船在A處測得燈塔C在北偏西36°，航行到B處時，又測得燈塔C在北偏西72°，求從B到燈塔C的距離．

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在一次機器人測試中，要求機器人從A出發到達B處．如圖1，已知點A在O的正西方600cm處，B在O的正北方300cm處，且機器人在射線AO及其右側(AO下方)區域的速度為20cm/秒，在射線AO的左側(AO上方)區域的速度為10cm/秒．
(1) 分別求機器人沿A→O→B路線和沿A→B路線到達B處所用的時間(精確到秒)；(3分)
(2) 若∠OCB=45°，求機器人沿A→C→B路線到達B處所用的時間(精確到秒)；(3分)
(3) 如圖2,作∠OAD=30°，再作BE⊥AD于E,交OA于P．試說明：從A出發到達B處，機器人沿A→P→B路線行進所用時間最短．(3分)
(參考數據：