Question

【題目】我們知道，經過原點的拋物線可以用y=ax2+bx（a≠0）表示，對于這樣的拋物線：

（1）當拋物線經過點（﹣2，0）和（﹣1，3）時，求拋物線的表達式；

（2）當拋物線的頂點在直線y=﹣2x上時，求b的值；

（3）如圖，現有一組這樣的拋物線，它們的頂點A1、A2、…，An在直線y=﹣2x上，橫坐標依次為﹣1，﹣2，﹣3，…，﹣n（n為正整數，且n≤12），分別過每個頂點作x軸的垂線，垂足記為B1、B2，…，Bn，以線段AnBn為邊向左作正方形AnBnCnDn，如果這組拋物線中的某一條經過點Dn，求此時滿足條件的正方形AnBnCnDn的邊長．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的表達式為y=﹣3x2﹣6x；（2）b1=﹣4，b2=0；（3）正方形的邊長是10．

【解析】試題分析：（1）把點（﹣2，0）和（﹣1，3）分別代入y=ax2+bx，得到關于a、b的二元一次方程組，解方程組即可；

（2）根據二次函數的性質，得出拋物線y=ax2+bx的頂點坐標是（﹣，﹣），把頂點坐標代入y=﹣2x，得出﹣=﹣2×（﹣），即可求出b的值；

（3）由于這組拋物線的頂點A1、A2、…，An在直線y=﹣2x上，根據（2）的結論可知，b=4或b=0．①當b=0時，不合題意舍去；②當b=﹣4時，拋物線的表達式為y=ax2﹣4x．由題意可知，第n條拋物線的頂點為An（﹣n，2n），則Dn（﹣3n，2n），因為以An為頂點的拋物線不可能經過點Dn，設第n+k（k為正整數）條拋物線經過點Dn，此時第n+k條拋物線的頂點坐標是An+k（﹣n﹣k，2n+2k），根據﹣=﹣n﹣k，得出a==﹣，即第n+k條拋物線的表達式為y=﹣x2﹣4x，根據Dn（﹣3n，2n）在第n+k條拋物線上，得到2n=﹣×（﹣3n）2﹣4×（﹣3n），解得k=n，進而求解即可．

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2+bx經過點（﹣2，0）和（﹣1，3），

∴，解得，

∴拋物線的表達式為y=﹣3x2﹣6x；

（2）∵拋物線y=ax2+bx的頂點坐標是（﹣，﹣），且該點在直線y=﹣2x上，

∴﹣=﹣2×（﹣），

∵a≠0，∴﹣b2=4b，

解得b1=﹣4，b2=0；

（3）這組拋物線的頂點A1、A2、…，An在直線y=﹣2x上，

由（2）可知，b=4或b=0．

①當b=0時，拋物線的頂點在坐標原點，不合題意，舍去；

②當b=﹣4時，拋物線的表達式為y=ax2﹣4x．

由題意可知，第n條拋物線的頂點為An（﹣n，2n），則Dn（﹣3n，2n），

∵以An為頂點的拋物線不可能經過點Dn，設第n+k（k為正整數）條拋物線經過點Dn，此時第n+k條拋物線的頂點坐標是An+k（﹣n﹣k，2n+2k），

∴﹣=﹣n﹣k，∴a==﹣，

∴第n+k條拋物線的表達式為y=﹣ x2﹣4x，

∵Dn（﹣3n，2n）在第n+k條拋物線上，

∴2n=﹣×（﹣3n）2﹣4×（﹣3n），解得k= n，

∵n，k為正整數，且n≤12，

∴n1=5，n2=10．

當n=5時，k=4，n+k=9；

當n=10時，k=8，n+k=18＞12（舍去），

∴D5（﹣15，10），

∴正方形的邊長是10．