Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BE⊥AC，垂足為點F，連接DF，分析下列四個結論：①△AEF~△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD= .其中正確的結論有（ ）

A.4個
B.3個
C.2個
D.1個

Answer 1

【答案】B
【解析】解： ∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于點F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正確；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴ = ，
∵AE= AD= BC，
∴ ，
∴CF=2AF，故②正確；
如圖，過D作DM∥BE交AC于N，

∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四邊形BMDE是平行四邊形，
∴BM=DE= BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于點F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DM垂直平分CF，
∴DF=DC，故③正確；
設AE=a，AB=b，則AD=2a，
由△BAE∽△ADC，有 = ，即b= a，
∴tan∠CAD= ．故④正確；
故選B.
【考點精析】通過靈活運用矩形的性質，掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等即可以解答此題．