Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AD//BC，∠A＝90°，CD＝CB，過點C作∠DCB的平分線CE交AB于點E，連接DE，過點D作DF//AB，且交CE于F點，連接BF．

（1）求證：四邊形DEBF是菱形；

（2）若AB＝5，BC＝13，求tan∠AED的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）tan∠AED=．

【解析】

（1）證明△CDE≌△CBE，根據全等三角形的性質得到ED＝EB，∠DEC＝∠BEC，根據平行線的性質、等腰三角形的判定定理得到DE＝DF，根據菱形的判定定理證明；

（2）根據矩形的性質得到∠BGD＝90°，DG＝AB＝5，AD＝BG，根據勾股定理求出GC，求出AD，根據勾股定理列方程求出AE，根據正切的定義計算，得到答案．

解：（1）證明：∵CE平分∠DCB，

∴∠DCE＝∠BCE，

在△CDE和△CBE中，

∴△CDE≌△CBE（SAS），

∴ED＝EB，∠DEC＝∠BEC，

∵DF//AB，

∴∠DFE＝∠BEC，

∴∠DFE＝∠DEC，

∴DE＝DF，

∴DF＝BE，又DF//AB，DE＝DF，

∴四邊形DEBF為菱形；

（2）∵AD//BC，AB//DF，

∴四邊形ABGD為平行四邊形，

∵∠A＝90°，

∴四邊形ABGD為矩形，

∴∠BGD＝90°，DG＝AB＝5，AD＝BG，

在Rt△DGC中，GC＝＝12，

∴AD＝BG＝BC﹣GC＝13﹣12＝1，

設AE＝x，則DE＝BE＝5﹣x，

在Rt△ADE中，DE2＝AE2+AD2，即(5﹣x)2＝x2+12，

解得，x＝，

∴tan∠AED＝＝．