Question

【題目】如圖在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AB＝2，CD＝，∠D＝30°．∠MON＝60°，其頂點O在CD邊上運動，并保持OM始終經過點B，設ON與AD邊所在的直線交于點P，則當AP＝______時，△OBC為等腰三角形．

Answer 1

【答案】

【解析】過點A作AE⊥CD于點E，BF⊥CD于點F，則有四邊形ABFE要矩形，∴EF=AB=2，AE=BF，∵AB//CD，AD=BC，∴△DAE≌△BCF，∴DE=CF，∠C=∠D=30°，∴∠DAB=∠ABC=150°，∵CD=2+4 ，∴DE=CF=2，∴AD=BC=4；

有三種情況：

①如圖1，當BO=CO時，此時∠OBC=∠C=30°，∴∠ABO=120°，∵∠MON=60°，∴∠ABO+∠MON=180°，∴AB//ON，∴點P與點D重合，∴AP=AD=4；

②如圖2，當CO=CB=4時，DO=2+4-4=4-2，∵∠C=30°，∴∠BOC=75°，∵∠MON=60°，∴∠NOD=45°，過點P作PH⊥DC，垂足為H，則有PH=OH，∵∠D=30°，∴DH= PH，∴DO=DH+HO= PH+PH=4-2，∴PH=7-3 ，∴PD=2PH=14-6，∴AP=AD-PD=4-（14-6）=6-10；

③如圖3，當BO=BC=4時，∠BOC=∠C=30°，∴∠OBC=120°，

∴OC=BC=4，∴OD=4+2-4=2，又∵∠MON=60°，∴∠POD=90°，∵∠D=30°，∴PD= = ，∴AP=AD-PD=4=；

綜上：AP的長為.