Question

通常，我們把長方形和正方形統稱為矩形．如圖1，是一個長為2a，寬為2b的矩形ABCD，若把此矩形沿圖中的虛線用剪刀均分為4塊小長方形，然后按照圖2的形狀拼成一個正方形MNPQ．
（1）分別從整體和局部的角度出發，計算圖2中陰影部分的面積，可以得到等式______．
（2）仔細觀察長方形ABCD與正方形MNPQ，可以發現它們的______相同，______不同．（選填“周長”或“面積”）
（3）根據上述發現，猜想結論：用總長為36米的籬笆圍成一個矩形養雞場，可以有許多不同的圍法．在你圍的所有矩形中，面積最大的矩形的面積是______米²．

Answer 1

解：（1）整體考慮：里面小正方形的邊長為a-b，
∴陰影部分的面積=（a+b）²-（a-b）²，
局部考慮：陰影部分的面積=4ab，
∴（a+b）²-（a-b）²=4ab；

（2）圖1周長為：2（2a+2b）=4a+4b，
面積為：4ab，
圖2周長為：4（a+b）=4a+4b，
面積為（a+b）²=4ab+（a-b）²≥4ab，
當且僅當a=b時取等號；
∴周長相同，面積不相同；

（3）根據（2）的結論，圍成正方形時面積最大，
此時，邊長為36÷4=9米，
面積=9²=81米²．
故答案為：（1）（a+b）²-（a-b）²=4ab；（2）周長，面積；（3）81．
分析：（1）整體上求出內部的小正方形的邊長，然后用大正方形的面積減去小正方形的面積就是陰影部分的面積，從局部考慮，求出四個小矩形的面積就是陰影部分的面積；
（2）從圖2的面積比圖1的面積大里面小正方形的面積考慮；
（3）根據（2）的結論，周長相等的情況下，正方形的面積比矩形的面積大，所以圍成的正方形的面積最大，然后根據正方形進行計算即可．
點評：本題考查了完全平方公式的幾何背景，結合圖形的特點，根據面積找出里面的規律是解題的關鍵．