Question

在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分別以OB，OA所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．F是BC上的一個動點（不與B、C重合），過F點的反比例函數y=

k

x

(k＞0)的圖象與AC邊交于點E．
（1）填空：點C的坐標是

（6，4）

；
（2）連接 OE、OF，若tan∠BOF=

4

9

，求∠AOE的度數；
（3）是否存在這樣的點F，使得△OEF為直角三角形？若存在，求出此時點F坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由OA與OB的長，根據C位于第一象限點，即可確定出C的坐標；
（2）在直角三角形BOF中，利用銳角三角函數定義表示出tan∠BOF，由OB的長求出BF的長，進而確定出F的坐標，將F坐標代入反比例解析式中求出k的值，確定出反比例函數解析式，將y=4代入反比例解析式求出對應x的值，確定出OA與AE的長相等，得到三角形AOE為等腰直角三角形，即可得出∠AOE的度數；
（3）存在這樣的點F，使得△OEF為直角三角形，理由為：由∠EOF為銳角，不可能為直角，設BF=a，由OB=6，得到F（6，a），代入反比例解析式得：k=6a；由OA=4，得到4AE=k=6a，即AE=AE=1.5a，EC=AC-AE=6-1.5a，CF=BC-BF=4-a；分兩種情況考慮：當∠OEF為直角時，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等得到三角形AOE與三角形ECF相似，由相似得比例，將各自的值代入列出關于a的方程，求出方程的解得到a的值；當∠OFE為直角時，同理求出a的值，經檢驗不合題意，綜上得到滿足題意a的值．

解答：解：（1）∵OB=6，OA=4，且C在第一象限，
∴C的坐標為（6，4）；
故答案為：（6，4）；

（2）在Rt△OBF中，tan∠BOF=

BF

OB

=

4

9

，OB=6，
∴BF=

8

3

，
∴F（6，

8

3

），
將F點坐標代入反比例解析式得：k=6×

8

3

=16，即反比例解析式為y=

16

x

，
∴將y=4代入反比例解析式得：x=4，即E（4，4），
在Rt△AOE中，OA=AE=4，
∴∠AOE=45°；

（3）存在，理由為：
設BF=a，由OB=6，得到F（6，a），代入反比例解析式得：k=6a；
由OA=4，得到4AE=k=6a，即AE=1.5a，
∴EC=AC-AE=6-1.5a，CF=BC-BF=4-a，
由∠EOF為銳角，不可能為直角，
故分兩種情況討論：
①當∠OEF=90°時，可得∠AEO+∠FEC=90°，
又∠AEO+∠AOE=90°，且∠OAE=∠ECF=90°，
∴△AOE∽△CEF，
∴

AO

CE

=

AE

CF

，即

4

6-1.5a

=

1.5a

4-a

，
整理得9a²-52a+64=0，
解得：a₁=

16

9

，a₂=4，
∴F（6，

16

9

）；
②當∠OFE=90°時，同理△CEF∽△BFO，
∴

CE

BF

=

CF

OB

，即

6-1.5a

a

=

4-a

6

，
整理得a²-13a+36=0，
解得a₁=9，a₂=4均不合題意，
∴∠OFE≠90°，
綜上所述，當F（6，

16

9

）時，△OEF為為直角三角形．

點評：此題考查了反比例函數綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質，坐標與圖形性質，待定系數法確定函數解析式，銳角三角函數定義，利用了分類討論的思想，是一道綜合性較強的探究型試題．