Question

已知：在矩形AOBC中，OB=4，OA=3．分別以O(shè)B，OA所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．F是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），過(guò)F點(diǎn)的反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）的圖象與AC邊交于點(diǎn)E．
（1）求證：△AOE與△BOF的面積相等；
（2）記S=S_△OEF-S_△ECF，求當(dāng)k為何值時(shí)，S有最大值，最大值為多少？
（3）請(qǐng)?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點(diǎn)F，使得將△CEF沿EF對(duì)折后，C點(diǎn)恰好落在OB上？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）分別用點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)表示出△AOE與△FOB的面積，進(jìn)行比較；
（2）應(yīng)分別用矩形面積和能用圖中的點(diǎn)表示出的三角形的面積表示出所求的面積，利用二次函數(shù)求出最值即可；
（3）點(diǎn)F的橫坐標(biāo)已有，與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相同，利用折疊以及相似求得點(diǎn)F的縱坐標(biāo)．

解答：（1）證明：設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），△AOE與△FOB的面積分別為S₁，S₂，
由題意得y₁=

k

x1

，y₂=

k

x2

，
∴S₁=

1

2

x₁y₁=

1

2

k，S₂=

1

2

x₂y₂=

1

2

k，
∴S₁=S₂，
即△AOE與△FOB的面積相等；

（2）解：由題意知E，F(xiàn)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為E（

k

3

，3），F(xiàn)（4，

k

4

），
∴S_△ECF=

1

2

EC•CF=

1

2

（4-

1

3

k）（3-

1

4

k），
∴S_△EOF=S_矩形AOBC-S_△AOE-S_△BOF-S_△ECF
=12-

1

2

k-

1

2

k-S_△ECF
=12-k-S_△ECF
∴S=S_△OEF-S_△ECF=12-k-2S_△ECF=12-k-2×

1

2

（4-

1

3

k）（3-

1

4

k）．
∴S=-

1

12

k²+k，即S=-

1

12

（k-6）²+3，
當(dāng)k=6時(shí)，S有最大值．
S_最大值=3；

（3）解：設(shè)存在這樣的點(diǎn)F，將△CEF沿EF對(duì)折后，C點(diǎn)恰好落在OB邊上的M點(diǎn)，
過(guò)點(diǎn)E作EN⊥OB，垂足為N．
由題意得：EN=AO=3，EM=EC=4-

1

3

k，MF=CF=3-

1

4

k，
∵∠EMN+∠FMB=∠FMB+∠MFB=90°，
∴∠EMN=∠MFB．
又∵∠ENM=∠MBF=90°，
∴△EMN∽△MFB．
∴

EN

MB

=

EM

MF

，
∴

3

MB

=

4- 1 3 k

3- 1 4 k

=

4(1- 1 12 k)

3(1- 1 12 k)

，
∴MB=

9

4

．
∵M(jìn)B²+BF²=MF²，
∴(

9

4

)2+(

k

4

)2=(3-

1

4

k)2，解得k=

21

8

．
∴BF=

k

4

=

21

32

．
∴存在符合條件的點(diǎn)F，它的坐標(biāo)為（4，

21

32

）．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合性比較強(qiáng)，把反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，圖形的面積計(jì)算，二次函數(shù)最值的計(jì)算放在矩形的背景中，綜合利用這些知識(shí)解決問(wèn)題．在求坐標(biāo)系內(nèi)一般三角形的面積，通常整理為矩形面積減去若干直角三角形的面積的形式．