Question

【題目】在正方形中，是邊上一點，

（1）將繞點按順時針方向旋轉。使、重合，得到，如圖（a）所示．觀察可知：與相等的線段是__________，__________．

（2）如圖（b）所示，正方形中，、分別是、邊上的點，且，試通過旋轉的方式說明：．

（3）在（2）的條件下，連接分別交、于點、，如圖（c）所示．判斷、、之間的關系，直接寫出結論．

Answer 1

【答案】（1），；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）如圖(a)，直接根據旋轉的性質得到DE=BF，∠AFB=∠AED；

（2）將△ADQ繞點A按順時針方向旋轉90°，則AD與AB重合，得到△ABE，根據旋轉的性質得∠EAQ=∠BAD=90°，AE=AQ，BE=DQ，而∠PAQ=45°，則∠PAE=45°，再根據全等三角形的判定方法得到△APE≌△APQ，則PE=PQ，于是PE=PB+BE=PB+DQ，即可得到DQ+BP=PQ；

（3）根據正方形的性質有∠ABD=∠ADB=45°，將△ADN繞點A按順時針方向旋轉90°，則AD與AB重合，得到△ABK，根據旋轉的性質得∠ABK=∠ADN=45°，BK=DN，AK=AN，與（2）一樣可證明△AMN≌△AMK得到MN=MK，由于∠MBK=∠MBA+∠KBA=45°+45°=90°，得到△BMK為直角三角形，根據勾股定理得BK2+BM2=MK2，然后利用等相等代換即可得到BM2+DN2=MN2．

（1）如圖(a)．

∵△ADE繞點A按順時針方向旋轉，使AD、AB重合，得到△ABF．

∵DE=BF，∠AFB=∠AED．

故答案為：BF，AED；

（2）將△ADQ繞點A按順時針方向旋轉90°，則AD與AB重合，得到△ABE，如圖2，

則∠D=∠ABE=90°，即點E、B、P共線，∠EAQ=∠BAD=90°，AE=AQ，BE=DQ．

∵∠PAQ=45°，

∴∠PAE=45°，

∴∠PAQ=∠PAE，

在△APE和△APQ中，

∵，

∴△APE≌△APQ(SAS)，

∴PE=PQ，

而PE=PB+BE=PB+DQ，

∴DQ+BP=PQ；

（3）BM2+DN2=MN2．證明如下：

∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠ABD=∠ADB=45°，

如圖3，將△ADN繞點A按順時針方向旋轉90°，則AD與AB重合，得到△ABK，

則∠ABK=∠ADN=45°，BK=DN，AK=AN，

與（2）一樣可證明△AMN≌△AMK，得到MN=MK．

∵∠MBK=∠MBA+∠KBA=45°+45°=90°，

∴△BMK為直角三角形，

∴BK2+BM2=MK2，

∴BM2+DN2=MN2．