Question

【題目】如圖，已知線段AB＝8，O為AB的中點(diǎn)，P是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過程中保持OP＝2不變，連結(jié)BP，將PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到PC，連結(jié)BC、AC，則線段AC長(zhǎng)的最大值是_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

以O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，過點(diǎn)C作CD⊥y軸，垂足為D，過點(diǎn)P作PE⊥DC，垂足為E，延長(zhǎng)EP交x軸于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則x2+y2=4．然后證明△ECP≌△FPB，由全等三角形的性質(zhì)得到EC=PF=y，FB=EP=4-x，從而得到點(diǎn)C（x+y，y+4-x），最后依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可求得AC的范圍．

如圖所示：過點(diǎn)C作CD⊥y軸，垂足為D，過點(diǎn)P作PE⊥DC，垂足為E，延長(zhǎng)EP交x軸于點(diǎn)F．

∵AB＝8，O為AB的中點(diǎn)，

∴A（﹣4，0），B（4，0）．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則x2+y2＝4．

∵∠EPC+∠BPF＝90°，∠EPC+∠ECP＝90°，

∴∠ECP＝∠FPB．

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：PC＝PB．

在△ECP和△FPB中

，

∴△ECP≌△FPB．

∴EC＝PF＝y，FB＝EP＝4﹣x．

∴C（x+y，y+4﹣x）．

∵AB＝8，O為AB的中點(diǎn)，

∴AC＝ ．

∵x2+y2＝4，

∴AC＝

∵﹣2≤y≤2

∴當(dāng)y＝2時(shí)，AC最大值為

故答案為