Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，P為對角線BD上的一點，點E在AD的延長線上，且PA=PE，PE交CD于F，連接CE．

（1）求證：△PCE是等腰直角三角形；
（2）如圖2，把正方形ABCD改為菱形ABCD，其他條件不變，當∠ABC=120°時，判斷△PCE的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖1中，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°，∠ADC=90°，

在△PDA和△PDC中，

，

∴△PDA≌△PDC，

∴PA=PC，∠3=∠1，

∵PA=PE，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠2，

∵∠EDF=90°，∠DFE=∠PFC，

∴∠FPC=EDF=90°，

∴△PEC是等腰直角三角形

（2）

解：如圖2中，結論：△PCE是等邊三角形．

理由：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD=DC，∠ADB=∠CDB，∠ADC=∠ABC=120°，

在△PDA和△PDC中，

，

∴△PDA≌△PDC，

∴PA=PC，∠3=∠1，

∵PA=PE，

∴∠2=∠3，PA═PE=PC，

∴∠1=∠2，

∵∠DFE=∠PFC，

∴∠EPC=∠EDC，

∵∠ADC=120°，

∴∠EDC=60°，

∴∠EPC=60°，∵PE=PC，

∴△PEC是等邊三角形

【解析】（1）由△PDA≌△PDC，推出PA=PC，∠3=∠1，由PA=PE，推出∠2=∠3，推出∠1=∠2，由∠EDF=90°，∠DFE=∠PFC，推出∠FPC=EDF=90°，推出△PEC是等腰直角三角形；（2）由△PDA≌△PDC，推出PA=PC，∠3=∠1，由PA=PE，推出∠2=∠3，PA═PE=PC，推出∠1=∠2，由∠DFE=∠PFC，推出∠EPC=∠EDC，由∠ADC=120°，推出∠EDC=60°，推出∠EPC=60°，由PE=PC，即可證明△PEC是等邊三角形；
【考點精析】掌握等腰三角形的性質是解答本題的根本，需要知道等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．