Question

已知a，b為正整數，且a為素數（也稱為質數），a²+b²是一個完全平方數，試用含a的代數式表示b=

 

．

Answer 1

分析：根據a²+b²是一個完全平方數，令a²+b²=c²，利用平方差公式因式分解，然后分a=2或a為奇質數兩種情況討論求解．

解答：解：∵a²+b²是一個完全平方數，
令a²+b²=c²，
得a²=c²-b²=（c-b）（c+b），
因為a為質數，a，b為正整數，所以a=2或a為奇質數，且c+b＞c-b，
若a=2，此時4=（c-b）（c+b），因b、c為正整數，c-b＜c+b，
所以，

c-b=1 c+b=4

，從而

b= 3 2 c= 5 2

與b、c為正整數矛盾，
若a為奇質數，因b、c為正整數，c-b＜c+b，
所以只有

c+b=a2 c-b=1

從而b=

a2-1

2

．
故答案為：

a2-1

2

．

點評：此題考查了完全平方數和質數與合數的定義，將原式變形，逐步進行邏輯推理，一步步接近問題的核心是解題的關鍵．