Question

已知a，b為正整數，且滿足

a+b

a2+ab+b2

=

4

49

，求a+b的值．

Answer 1

分析：利用已知將方程整理為一元二次方程，結合方程根的情況，得出k的取值范圍，再代入方程得出a+b的值．

解答：解：由49（a+b）=4（a²+ab+b²）及a，b都是正整數，
故存在正整數k，使a+b=4k①
從而a²+ab+b²=49k，
即（a+b）²-ab=49k，故ab=16k²-49k②
從而a，b是關于x的方程
x²-4kx+（16k²-49k）=0③（此也可視作把①代入②，整理成關于a的類似③的方程）
得兩個正整數根．
由△=16k²-4（16k²-49k）≥0，
得0≤k≤

49

12

，
∵k為正整數∴k=1，2，3，4．容易驗證，
當k=1，2，3時，方程③均無正整數根；
當k=4時，方程③為x²-16x+60=0，
解得x₁=10，x₂=6．
故a+b=4k=16．

點評：此題主要考查了一元二次方程根與系數的關系以及方程整數解的求法，綜合性較強．