Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xoy中，拋物線y=x2向左平移1個單位，再向下平移4個單位，得到拋物線y=（x﹣h）2+k，所得拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，頂點為D．

（1）求h、k的值；

（2）判斷△ACD的形狀，并說明理由；

（3）在線段AC上是否存在點M，使△AOM與△ABC相似？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）h=﹣1，k=﹣4（2）△ACD是直角三角形；（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）根據“左加右減，上加下減”的平移規律即可得到h、k的值；

（2）根據（1）題所得的拋物線的解析式，即可得到A、C、D的坐標，進而可求出AC、AD、CD的長，然后再判斷△ACD的形狀；

（3）易求得B點的坐標，即可得到AB、AC、OA的長；△AOM和△ABC中，已知的相等角是∠OAM=∠BAC，若兩三角形相似，可考慮兩種情況：

①∠AOM=∠ABC，此時OM∥BC，△AOM∽△ABC；②∠AOM=∠ACB，此時△AOM∽△ACB；

根據上述兩種情況所得到的不同比例線段即可求出AM的長，進而可根據∠BAC的度數求出M點的橫、縱坐標，即可得到M點的坐標．

解：（1）∵y=x2的頂點坐標為（0，0），

∴y=（x﹣h）2+k的頂點坐標D（﹣1，﹣4），

∴h=﹣1，k=﹣4 （3分）

（2）由（1）得y=（x+1）2﹣4

當y=0時，

（x+1）2﹣4=0

x1=﹣3，x2=1

∴A（﹣3，0），B（1，0）（1分）

當x=0時，y=（x+1）2﹣4=（0+1）2﹣4=﹣3

∴C點坐標為（0，﹣3）

又∵頂點坐標D（﹣1，﹣4）（1分）

作出拋物線的對稱軸x=﹣1交x軸于點E

作DF⊥y軸于點F

在Rt△AED中，AD2=22+42=20

在Rt△AOC中，AC2=32+32=18

在Rt△CFD中，CD2=12+12=2

∵AC2+CD2=AD2

∴△ACD是直角三角形；

（3）存在．由（2）知，OA=3，OC=3，則△AOC為等腰直角三角形，∠BAC=45°；

連接OM，過M點作MG⊥AB于點G，

AC=

①若△AOM∽△ABC，則，

即，AM=

∵MG⊥AB

∴AG2+MG2=AM2

∴

OG=AO﹣AG=3﹣

∵M點在第三象限

∴M（）；

②若△AOM∽△ACB，則，

即，

∴AG=MG=

OG=AO﹣AG=3﹣2=1

∵M點在第三象限

∴M（﹣1，﹣2）．

綜上①、②所述，存在點M使△AOM與△ABC相似，且這樣的點有兩個，其坐標分別為（），（﹣1，﹣2）．