Question

【題目】在平面直角坐標系中，我們定義直線為拋物線（a、b、c為常數，a≠0）的“夢想直線”；有一個頂點在拋物線上，另有一個頂點在y軸上的三角形為其“夢想三角形”，已知拋物線與其“夢想直線”交于A、B兩點（點A在點B的左側），與x軸負半軸交于點C．

（1）填空：該拋物線的“夢想直線”的解析式為 ，點A的坐標為 ，點B的坐標為 ；

（2）如圖，點M為線段BC上一動點，將△ACM以AM所在直線為對稱軸翻折，點C的對稱點為N，若△AMN為該拋物線的“夢想三角形”，求點N的坐標；

（3）在該拋物線的“夢想直線”上，是否存在點P，使△ACP為等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；；；（2）(0，）；（3）（0，1），（，），（，），（，）．

【解析】

（1）由夢想直線的定義可求得其解析式，聯立夢想直線與拋物線解析式可求得、的坐標；

（2）當點在軸上時，過作軸于點，過作軸于點，則，，，利用勾股定理，可以得出AC的長，設N點坐標為：(0，y），根據翻轉，可得，結合點坐標，利用勾股定理，可求得點坐標；

（3）分3種情況：當時，當時，當時，分別結合題目的已知條件進行討論，即可求出P點坐標．

解：（1）拋物線，

其夢想直線的解析式為，

聯立夢想直線與拋物線解析式可得，解得或，

，，，

故答案為：；；；

（2）當點在軸上時，為夢想三角形，

如圖，過作軸于點，過作軸于點，

則，，，

∴，

設N點坐標為：(0，y）（），則，

∵將△ACM以AM所在直線為對稱軸翻折，點C的對稱點為N，

則有，即：，

解之得：，

∴N的坐標為：(0，）；

（3）在該拋物線的“夢想直線”上，存在點P，使△ACP為等腰三角形，

∵拋物線中，當時，，，

∴C的坐標為：(-3，0）；

設P點坐標為：(x，-x+1）

①如圖示，

當時，即有

解之得：，，

∴P點坐標為：（0，1），（-2，3）（此點為A點，不合題意，舍去）

②如圖示，

當時，即有

解之得：，，

∴，

∴P點坐標為：（，），（，）；

③如圖示，

當時，作AC的垂直平分線KP，KP交AC于點K，

∴K的坐標為：（-2.5，1.5），

∵A的坐標為：（-2，3），C的坐標為：（-3，0），

∴，

∴，

∴，將（-2.5，1.5）代入，則

∴KP的解析式為：

聯立夢想直線與直線KP的解析式可得，解得

∴P點坐標為：（，），

綜上所述，P點坐標為：（0，1），（，），（，），（，）；