Question

已知△ABC，D是BC的中點，將三角板中的90°角的頂點繞D點在△ABC內旋轉，角的兩邊分別與AB、AC交于E、F，且點E、F不與A、B、C三點重合．
（1）如果∠A=90°，觀察并探索，當E、F點位置變化時，BE、EF、CF三條線段中有否有一條線段始終最長？請指出，并給予證明．
（2）請分別∠A＞90°、∠A＜90°兩種情況考察BE、EF、CF三條線段中有否有一條線段始終最長？如果有，請指出最長的線段，但不需證明；如果沒有，請畫草圖舉出反例．

Answer 1

（1）答：線段EF始終最大，證明如下：
將△FDC繞點D順時針方向旋轉180°，如圖，
∵D是BC的中點，
∴點C旋轉后與點B重合，△FDC≌△F′DB，∠FCD=F′BD，DF=DF′，FC=F′B，
連接EF、EF’，
在△EDF和△EDF’中，
∵∠EDF=90°=∠EDF，ED=ED，FD=F′D，
∴△FDE≌△F′DE，
∴EF=EF’，
在△EBF’中，∠EBF’=∠EBD+∠F’BD=∠EBD+∠FCD=180°-∠A=90°，
EF’是Rt△EBF′斜邊EF′＞EB，EF′＞BF′，
∴BE、EF、CF三條線段中，EF的長度始終最大，

（2）當∠A＜90°，BE、EF、CF三條線段中，EF始終最長，（原因∠EBF’＞180°，
當∠A＞90°，BE、EF、CF三條線段中，不存在始終最長的線段，反例如圖：