Question

【題目】如圖，等邊△ABC內接于⊙O，P是上任意一點（不與點A、B重合），連AP、BP，過點C作CM//BP交PA的延長線于點M.

（1）求∠APC和∠BPC的度數

（2）探究PA、PB、PM之間的關系

（3）若PA=1，PB=2，求四邊形PBCM的面積．

Answer 1

【答案】（1）∠APC=60°；∠BPC=60°；（2）PM= PA＋PB；（3）

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質和同弧所對的圓周角相等即可得出結論；

（2）根據平行線的性質可得∠MCP=∠BPC=60°，然后根據等邊三角形的判定可得△CPM為等邊三角形，再利用SAS證出△BCP≌△ACM，即可得出PB=AM，從而得出結論；

（3）過點C作CD⊥MP于D，根據（2）的結論和等邊三角形的性質求出AM和CD，利用三角形的面積公式即可求出S△CAM和S△CAP，然后根據全等三角形的性質可得S△BCP= S△ACM，最后根據S四邊形PBCM = S△CAM＋S△CAP＋S△BCP即可得出結論．

解：（1）∵△ABC為等邊三角形

∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC

∴∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°；

（2）PM= PA＋PB，理由如下

∵CM∥BP

∴∠MCP=∠BPC=60°

∴∠M=180°－∠MPC－∠MCP=60°

∴△CPM為等邊三角形

∴CP=CM，∠PCM=60°

∵∠ACB=60°

∴∠ACB=∠PCM

∴∠BCP=∠ACM

在△BCP和△ACM中

∴△BCP≌△ACM

∴PB=AM

∴PM=PA＋AM=PA＋PB

（3）過點C作CD⊥MP于D

∵PA=1，PB=2，

∴PM=PA＋PB=3，AM=PB=2

∵△CPM為等邊三角形

∴CM=CP=PM=3，

∵CD⊥MP

∴MD==

根據勾股定理可得CD=

∴S△CAM=

S△CAP=

∵△BCP≌△ACM

∴S△BCP= S△ACM

∴S四邊形PBCM = S△CAM＋S△CAP＋S△BCP