Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，且AB為⊙O的直徑．∠ACB的平分線CD交⊙O于點D，過點D作⊙O的切線PD交CA的延長線于點P，過點A作AE⊥CD于點E，過點B作BF⊥CD于點F．

（1）求證：DP∥AB；

（2）試猜想線段AE、EF、BF之間的數量關系，并加以證明；

（3）若AC＝6，BC＝8，求線段PD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BF－AE＝EF，見解析；（3）

【解析】

（1）由切線的性質可得∠ODP＝90°，∠BOD＝90°，從而根據“內錯角相等，兩直線平行”即可證明DP∥AB；

（2）先證明△ADE≌△DBF，得到BF＝DE，AE＝DF，進而根據線段的運算得到“BF－AE＝EF”；

（3）由勾股定理運算得出AD，CE，CD的值，再根據PD∥AB得到∠PDA＝∠ACD，從而證明△PAD∽△PDC，根據相似比計算得出PD即可．

解：（1）證明：連接OD，

∵PD切⊙O于點D，

∴OD⊥PD，∠ODP＝90°

∵∠ACD＝∠BCD，∠AOD＝2∠ACD，∠BOD＝2∠BCD，

∴∠AOD＝∠BOD＝×180°＝90°，

∴∠ODP＝∠BOD，

∴PD∥AB

（2）BF－AE＝EF，

證明如下：

∵AB是⊙O的直徑

∴∠ADB＝∠ADE＋∠BDF＝90°，

∵AE⊥CD，BF⊥CD

∴∠AED＝∠BFD＝90°，

∴∠FBD＋∠BDF＝90°，

∴∠FBD＝∠ADE，

∵∠AOD＝∠BOD

∴AD＝BD

∴△ADE≌△DBF（AAS），

∴BF＝DE，AE＝DF

∴　BF－AE＝DE－DF，

即BF－AE＝EF

（3）∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ACD＝∠ACB＝45°，

在Rt△ACB中，AB2＝AC2＋BC2＝100，

在Rt△ADB中，AB2＝2AD2，

∴AD＝5，

在Rt△AEC中，AC2＝AE2＋CE2，

∴AE＝CE＝3，

在Rt△AED中，DE＝＝4，

∴CD＝CE＋DE＝7，

∵PD∥AB，

∴∠PDA＝∠DAB，

∵∠ACD＝∠BCD＝∠DAB，

∴∠PDA＝∠ACD，

又∵∠P＝∠P，

∴△PAD∽△PDC，

∴＝＝＝＝，

∴PA＝PD＋6，　

∴＝，

∴PD＝