Question

【題目】如圖，已知：在正方形ABCD中，點P在AC上，PE⊥AB于E,PF⊥BC于F.

（1）試判斷線段EF與PD的長是否相等，并說明理由.

（2）若點O是AC的中點，判斷OF與OE之間有怎樣的位置和數量關系？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）相等，理由見解析；（2）OF與OE垂直且相等，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）連接BP，易證四邊形EPFB是矩形，由矩形的性質即可證明EF=PD；

（2）OF與OE垂直且相等，連接BO，證明△EBO與△FCO全等即可．

解：(1)EF=PD，理由如下：

連接BP，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°,AD=AB,∠DAP=∠BAP=45°，

在△BAP和△DAP中，

，

∴PD=PB,

∵PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，

∴∠PEB=∠PFB=90°，

∴四邊形EPFB是矩形，

∴EF=PB，

∴EF=PD；

(2)OF與OE垂直且相等，理由如下：

連接BO，

∵點O是AC的中點，

∴∠EBO=∠FCO=45°，

∵BF=EP，AE=EP，

∴AE=BF，

∴BE=CF，

在△EBO和△FCO中

，

∴△EBO≌△FCO，

∴OE=OF，∠EOB=∠COF，

∵OB⊥AC，

∴∠BOC=90°，

∴∠COF+∠BOF=90°，

∴∠EOB+∠BOF=90°，

即OE⊥OF.