Question

【題目】閱讀下列材料：

問題：如圖1，在△中，點為的中點，求證： ＜小明提供了他研究這個問題的思路：從點為的中點出發(fā)，可以構(gòu)造以、為鄰邊的平行四邊形，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)以及三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)便可解決這個問題.請結(jié)合小明研究問題的思路，解決下列問題：

（1）完成上面問題的解答；

（2）如果在圖1中，∠=60°，延長到，使得，延長到，使得，連結(jié)，如圖2. 請猜想線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系.并加以證明.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BE=2AP，證明見解析

【解析】試題分析：（1）可通過構(gòu)建平行四邊形求解；延長AP至H，使PH=AP；則AH、BC互相平分，四邊形ABHC是平行四邊形；在△ACH中，由三角形三邊關(guān)系定理知：AH<AC+CH，而HC=AB，AH=2AP，等量代換后即可證得所求的結(jié)論；

（2）可按照（1）題的思路求解；過B作AE的平行線，交DE于H，連接AH、CH；易知AD=AE，若∠BAC=60°，則△ADE是等邊三角形，易證得△DBH也是等邊三角形，此時DB=BH=AC，則四邊形ABHC的一組對邊平行且相等，則四邊形ABHC是平行四邊形；由此可證得P是平行四邊形ABHC對角線的交點，且AH=2AP；下面可通過證△DBE≌△DHA得出AH=DE，從而得出DE=2AP的結(jié)論；

試題解析：

(1)證明：延長AP至H，使得PH=AP，連接BH、HC，PH；

∵BP=PC；

∴四邊形ABHC是平行四邊形；

∴AB=HC；

在△ACH中，AH<HC+AC；

∴2AP<AB+AC；

即AP< (AB+AC)

(2) BE=2AP.

證明：過B作BH∥AE交DE于H，連接CH、AH；

∴∠1=∠BAC=60°；

∵DB=AC，AB=CE，

∴AD=AE,

∴△AED是等邊三角形，

∴∠D=∠1=∠2=∠AED=60°；

∴△BDH是等邊三角形；

∴BD=DH=BH=AC；

∴四邊形ABHC是平行四邊形；

∵點P是BC的中點，

∴點P是四邊形ABHC對角線AH、BC的交點，

∴點A，P，H共線，

∴AH=2AP；

在△ADH和△EDB中, ；

∴△ADH≌△EDB；

∴AH=BE=2AP；