Question

【題目】已知：在△ABC中，AB=6，AC=BC=5，將△ABC繞點A按順時針方向旋轉（旋轉角度小于180°），得到△ADE，點B的對應點為點D，點C的對應點為點E．

（1）如圖1，連接BE，若∠DAB+∠ACB=180°，請判斷四邊形AEBC的形狀，并說明理由；

（2）如圖2，設BE的延長線與AD交于點F，若AF=FD，求∠BAD的度數；

（3）如圖3，連接CD，若∠CAE=∠ACB，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）結論：四邊形AEBC是菱形，理由見解析；（2）60°；（3）CD=．

【解析】

（1）結論：四邊形AEBC是菱形．
（2）如圖2中，連接BD．只要證明△ABD是等邊三角形即可．
（3）如圖3中，在BA的延長線上 取一點D′，使得AD=AD′，連接CD′，作CH⊥AB于H．證明△D′AC≌△DAC可得CD=CD′，利用勾股定理求出CD′即可．

解：（1）結論：四邊形AEBC是菱形．

理由：如圖1中，

由旋轉的性質可知：∠DAB=∠EAC，

∵∠DAB+∠ACB=180°，

∴∠EAC+∠ACB=180°，

∴AE∥BC，

∵AE=BC，

∴四邊形AEBC是平行四邊形，

∵AE=AC，

∴四邊形AEBC是菱形．

（2）如圖2中，連接BD．

∵AE=DE，AF=DF，

∴EF垂直平分線段AD，

∴BA=BD，

∵AB=AD，

∴△ABD是等邊三角形，

∴∠BAD=60°．

（3）如圖3中，在BA的延長線上取一點D′，使得AD=AD′，連接CD′，作CH⊥AB于H．

∵∠DAE=∠B，∠CAE=∠ACB

∴D′AC=∠ACB+∠B=∠CAE+∠DAE=∠DAC，

∵AC=AC，

∴△D′AC≌△DAC（SAS）

∴CD=CD′，

易知：CH=4，D′H=9，

由勾股定理得到：CD′==，

∴CD=．