Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交軸于點，交軸于點和點，過點作軸交拋物線于點.

（1）求此拋物線的表達式；

（2）點是拋物線上一點，且點關于軸的對稱點在直線上，求的面積；

（3）若點是直線下方的拋物線上一動點，當點運動到某一位置時，的面積最大，求出此時點的坐標和的最大面積.

Answer 1

【答案】（1）y=x2+4x-5；（2）20；（3）點P的坐標是（，-）時，△ABP的面積最大，此時△ABP的面積是．

【解析】（1）用待定系數法求出二次函數的解析式即可.

（2）根據點E的縱坐標是5，求出點E到AD的距離是10，求出點D的坐標，計算出的長度，即可求出的面積；

（3）設點P的坐標為（p，p2+4p-5），用待定系數法求出直線AB的解析式，列出關于△ABP的面積的式子，根據二次函數的性質即可求出面積的最大值.

（1）∵拋物線交y軸于點A，交x軸于點B（-5，0）和點C（1，0），
∴，得，
∴此拋物線的表達式是y=x2+4x-5；
（2）∵拋物線y=x2+4x-5交y軸于點A，
∴點A的坐標為（0，-5），
∵AD∥x軸，點E是拋物線上一點，且點E關于x軸的對稱點在直線AD上，
∴點E的縱坐標是5，點E到AD的距離是10，
當y=-5時，-5=x2+4x-5，得x=0或x=-4，
∴點D的坐標為（-4，-5），
∴AD=4，
∴△EAD的面積是：=20；
（3）設點P的坐標為（p，p2+4p-5），如圖所示，

設過點A（0，-5），點B（-5，0）的直線AB的函數解析式為y=mx+n，
，得，
即直線AB的函數解析式為
當時，
∵OB=5，
∴△ABP的面積是：S= ，
∵點是直線下方的拋物線上一動點，
∴-5＜＜0，
∴當=-時，取得最大值，此時S=，點p的坐標是（，-），
即點p的坐標是（，-）時，△ABP的面積最大，此時△ABP的面積是．