Question

用棱長為1cm的若干小正方體按如圖所示的規律在地面上搭建若個幾何體．圖中每個幾何體自上而下分別叫第一層，第二層…第n層（n為正整數），其中第一層擺放一個，第二層擺放4個，第三層擺放9個…，依次按規律擺放．（圖片所示為第三個幾何體）
（1）求搭建第4個幾何體的小立方體的個數，第n個幾何體第n層的個數及總數．
（2）畫出第2，第3個幾何體的三視圖，并求出這兩個幾何體的所有露出部分（不含底面）的面積之和．
（3）為了美觀，若將幾何體的露出部分都涂上油漆（不含底面），已知噴涂1cm²需要油漆0.1g，求噴涂第n個幾何體，共需要多少g油漆？（用含n的代數式表示）

Answer 1

（1）搭建第4個幾何體的小立方體的個數=1+4+9+16=30；第n個幾何體第n層的個數為n²，其總數為1+2²+3²+4²+…+n²；

（2）第2個幾何體的主視圖為

，左視圖為

，俯視圖為

；
第3個幾何體的主視圖為



，左視圖為



，俯視圖

；
這兩個幾何體的所有露出部分（不含底面）的面積之和=4×3+4+4×6+9=49（cm²）；

（3）第n個幾何體的所有露出部分（不含底面）的面積=4×（1+2+3+…+n）+n²=4×

n(n+1)

2

+n²=3n²+2n，
所以所需要的油漆量=（3n²+2n）×0.1=（0.3n²+0.2n）g．