Question

用棱長為1cm的若干小正方體按如圖所示的規律在地面上搭建若個幾何體．圖中每個幾何體自上而下分別叫第一層，第二層…第n層（n為正整數），其中第一層擺放一個，第二層擺放4個，第三層擺放9個…，依次按規律擺放．（圖片所示為第三個幾何體）
（1）求搭建第4個幾何體的小立方體的個數，第n個幾何體第n層的個數及總數．
（2）畫出第2，第3個幾何體的三視圖，并求出這兩個幾何體的所有露出部分（不含底面）的面積之和．
（3）為了美觀，若將幾何體的露出部分都涂上油漆（不含底面），已知噴涂1cm²需要油漆0.1g，求噴涂第n個幾何體，共需要多少g油漆？（用含n的代數式表示）

Answer 1

分析：（1）觀察得到每層向上的面都為正方形，即每層的個數都為平方數，則搭建第4個幾何體的小立方體的個數=1+4+9+16；第n個幾何體第n層的個數為n²，所以總數為1+2²+3²+4²+…+n²；
（2）根據三視圖的畫法分別畫出兩幾何體得三視圖；然后根據四個側面和向上的面的小正方形的個數得到兩個幾何體的所有露出部分（不含底面）的面積之和；
（3）根據（2）中的方法得到第n個幾何體的所有露出部分（不含底面）的面積=4×（1+2+3+…+n）+n²，化簡后乘以0.1即可．

解答：解：（1）搭建第4個幾何體的小立方體的個數=1+4+9+16=30；第n個幾何體第n層的個數為n²，其總數為1+2²+3²+4²+…+n²；

（2）第2個幾何體的主視圖為，左視圖為，俯視圖為；
第3個幾何體的主視圖為，左視圖為，俯視圖；
這兩個幾何體的所有露出部分（不含底面）的面積之和=4×3+4+4×6+9=49（cm²）；

（3）第n個幾何體的所有露出部分（不含底面）的面積=4×（1+2+3+…+n）+n²=4×

n(n+1)

2

+n²=3n²+2n，
所以所需要的油漆量=（3n²+2n）×0.1=（0.3n²+0.2n）g．

點評：此題主要考查了圖形的變化類：通過特殊圖象找到圖象變化，歸納總結出規律，再利用規律解決問題．也考查了三視圖．