Question

【題目】(1)問題發現

如圖， 在和中，，，， 連接，交于點．填空：①的值為 ：②的度數為

(2)類比探究

如圖， 在和中，，， 連接交的延長線于點．請求出能的值及的度數， 并說明理由；

(3)拓展延伸

在的條件下， 將繞點在平面內旋轉，所在直線交于點， 若，，請直接寫出當點與點重合時的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．理由見解析（3）的長為或．

【解析】

（1）①證明，得到AC=BD，比值為1；②由得，根據三角形內角和定理得，=．

（2）根據兩邊的比相等且夾角相等可得∽，則，由全等三角形的性質得的度數．

（3）正確畫出圖形，當點C與點M重合時，有兩種情況：如圖3和如圖4，同理可得，則，，可得AC的長．

（1）；

①如圖1.

∵,

∴，

∵OC=OD，OA=OB，

∴，

∴AC=BD，

∴．

②∵，

∴，

∵，

∴，

在，

，

=，

=，

故答案為：1，．

（2）．理由如下：

在，中

∴，同理可得

∴

∵

∴

∴∽

∴

∴

（3）拓展延伸

①點C與點M重合時，如圖3，同理得：，

∴，，

設，則，

Rt△COD中，，OD=1，

∴，,

Rt△AOB中，，，

∴，

在RtAMB中，由勾股定理得：

，

，

，

解得：，，

∴；

②點C與點M重合時，如圖4，

同理得：，，

設，則，

在RtAMB中，由勾股定理得：

，

，

，

解得：，，

∴

綜上所述：的長為或．