Question

已知二次函數.

（1）當二次函數的圖象經過坐標原點O（0，0）時，求二次函數的解析式；
（2）如圖，當m=2時，該拋物線與y軸交于點C，頂點為D，求C、D兩點的坐標；
（3）在（2）的條件下，x軸上是否存在一點P，使得PC+PD最短？若P點存在，求出P點的坐標；若P點不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）∵二次函數的圖象經過坐標原點O（0，0），
∴代入得：，解得：m=±1。
∴二次函數的解析式為：或。
（2）∵m=2，∴二次函數為：。
∴拋物線的頂點為：D（2，－1）。
當x=0時，y=3，
∴C點坐標為：（0，3）。
（3）存在，當P、C、D共線時PC+PD最短。
過點D作DE⊥y軸于點E，

∵PO∥DE，∴△COP∽△CED。
∴，即，解得：
∴PC+PD最短時，P點的坐標為：P（，0）。

試題分析：（1）根據二次函數的圖象經過坐標原點O（0，0），直接代入求出m的值即可。
（2）把m=2，代入求出二次函數解析式，利用配方法求出頂點坐標以及圖象與y軸交點即可。
（3）根據兩點之間線段最短的性質，當P、C、D共線時PC+PD最短，利用相似三角形的判定和性質得出PO的長即可得出答案。