Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，P是△ABC的高CD上一個動點，以B點為旋轉中心把線段BP逆時針旋轉45°得到BP′，連接DP′，則DP′的最小值是（　　）

A.2-2B.4﹣2C.2﹣D.-1

Answer 1

【答案】A

【解析】

在BC上截取BE＝BD，根據等腰直角三角形的性質求得BA和BE，再由旋轉的性質證明△BDP'≌△BEP，從而可得到PE＝P'D，再由等腰直角三角形的性質求得PE，從而求得DP′的最小值.

解：如圖，在BC上截取BE＝BD，

∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4， CD⊥AB，

∴BA＝4，∠ABC＝∠BAC＝∠BCD＝∠DCA＝45°，BD＝CD＝AD＝2＝BE，

∵旋轉

∴BP＝BP'，∠PBP'＝45°，

∵BE＝BD，∠ABC＝∠PBP'＝45°，BP＝BP'

∴△BDP'≌△BEP（SAS）

∴PE＝P'D

∴當PE⊥CD時，PE有最小值，即DP'有最小值，

∵PE⊥CD，∠BCD＝45°，

∴CE＝PE＝BC﹣BE＝4﹣2

∴P'D =PE＝2﹣2

故選：A．