Question

【題目】已知點C為線段AB上一點，分別以AC、BC為邊在線段AB同側作△ACD和△BCE,且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE=α，直線AE與BD交于點F.

（1）如圖1所示，

①求證AE= BD

②求∠AFB (用含α的代數式表示)

（2）將圖1中的△ACD繞點C順時針旋轉某個角度(交點F至少在BD、AE中的一條線段上)，得到如圖2所示的圖形，若∠AFB= 150°，請直接寫出此時對應的α的大小(不用證明)

Answer 1

【答案】（1）①見解析，②180° -α（2）30°

【解析】

（1）①由∠ACD=∠BCE=α，得到∠ACE=∠DCB=180°，然后得到△ACE≌DCB，即可得到AE=BD；

②由①知△ACE≌DCB，則∠CAF=∠CDF，利用三角形內角和定理，由∠CAF+∠AFB+∠B=180°，∠CDF+∠DCB+∠B=180°，則∠AFB=∠DCB=；

（2）由∠AFB= 150°，則∠EFB=，由∠ACD=∠BCE，得∠ACE=∠DCB，然后得到△ACE≌△DCB，得到∠AEC=∠DBC，則∠BCE=∠EFB=30°.

解：（1）如圖1：

①證明：∵∠ACD=∠BCE=α，

∴180°∠ACD=180°∠BCE，

即∠ACE=∠DCB=180°，

∵CA=CD，CB=CE，

∴△ACE≌DCB，

∴AE=DB；

②∵△ACE≌DCB，

∴∠CAF=∠CDF，

由三角形內角和定理，得

∠CAF+∠AFB+∠B=180°，∠CDF+∠DCB+∠B=180°，

∴∠AFB=∠DCB=；

（2）如圖2：

∵∠AFB= 150°，

∴∠EFB=，

∵∠ACD=∠BCE，

∴∠ACD+∠DCO=∠BCE+∠DCO，

∴∠ACE=∠DCB，

∵AC=DC，CE=CB，

∴△ACE≌△DCB，

∴∠AEC=∠DBC，

∵∠FOE=∠COB，

∴∠BCE=∠EFB=30°，

∴.