Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD，AC、BD相交于點O，E為AC上一點，AH⊥EB交EB于點H，AH交BD于點F．

（1）若點E在圖1的位置，判斷OE與OF的數量關系，并證明你的結論；

（2）若點E在AC的延長線上，請在圖2中按題目要求補全圖形，判斷OE與OF的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）OE=OF,證明詳見解析；（2）OE=OF仍然成立，證明詳見解析；

【解析】

試題分析：（1）OE=OF．根據正方形的性質，用AAS判定△AOF≌△BOE，全等三角形的對應邊相等，OE=OF．

（2）類比（1）的方法證得同理得出結論成立．

試題解析：（1）OE=OF．理由如下：

在正方形ABCD中，

∴AO=BO，∠AOF=∠BOE=90°，

∴∠OBE+∠BEO=90°，

∵AH⊥EB，

∴∠AHE=90°，

∴∠HAE+∠AEH=90°，

∴∠OBE=∠OAF，

在△AOF和△BOE中，

，

∴△AOF≌△BOE（ASA），

∴OE=OF．

（2）OE=OF仍然成立．

理由：如圖，在正方形ABCD中，∴AO=BO，∠AOF=∠BOE=90°，

∴∠FAO+∠F=90°，

∵AH⊥EB，∴∠AHE=90°，

∴∠HAE+∠E=90°，

∴∠E=∠F，

在△AOF和△BOE中，

，

∴△AOF≌△BOE（AAS），

∴OE=OF．

所以結論仍然成立．