Question

【題目】某學習小組在探索“各內角都相等的圓內接多邊形是否為正多邊形”時，有如下探討：

甲同學：我發現這種多邊形不一定是正多邊形．如圓內接矩形不一定是正方形．

乙同學：我知道邊數為3時，它是正三角形；我想，邊數為5時，它可能也是正五邊形…

丙同學：我發現邊數為6時，它也不一定是正六邊形．如圖2，△ABC是正三角形，弧AD、弧BE、弧CF均相等，這樣構造的六邊形ADBECF不是正六邊形．

（1）如圖1，若圓內接五邊形ABCDE的各內角均相等，則∠ABC= °，并簡要說明圓內接五邊形ABCDE為正五邊形的理由；

（2）如圖2，請證明丙同學構造的六邊形各內角相等；

（3）根據以上探索過程，就問題“各內角都相等的圓內接多邊形是否為正多邊形”的結論與“邊數n（n≥3，n為整數）”的關系，提出你的猜想（不需證明）．

Answer 1

【答案】（1）108．見解析；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）運用n邊形的內角和定理就可求出∠ABC的度數；已知圓內接五邊形ABCDE的各內角均相等，要證該五邊形為正五邊形，只需證該五邊形的各邊均相等，只需利用弧與圓周角之間的等量關系就可解決問題．

（2）由△ABC是正三角形可得∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，根據圓內接四邊形的性質可得∠AFC、∠ADB、∠BEC均為120°，由=可得∠ABD=∠CAF，即可求出∠DAF=120°，同理可得∠DBE=∠ECF=120°，問題得以解決．

（3）依據對（1）、（2）的探索積累的經驗就可提出合理的猜想．

解：（1）∵五邊形的內角和=（5﹣2）×180°=540°，

∴∠ABC==108°．

故答案為：108．

理由：如圖1，

∵∠A=∠B

∴=，

∴﹣=﹣，

∴=，

∴BC=AE．

同理可得：BC=DE，DE=AB，AB=CD，CD=AE，

∴BC=DE=AB=CD=AE，

∴五邊形ABCDE是正五邊形；

（2）證明：如圖2，

∵△ABC是正三角形，

∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，

∵四邊形ABCF是圓內接四邊形，

∴∠ABC+∠AFC=180°，

∴∠AFC=120°．

同理可得：∠ADB=120°，∠BEC=120°．

∵∠ADB=120°，

∴∠DAB+∠ABD=60°．

∵=，

∴∠ABD=∠CAF，

∴∠DAB+∠CAF=60°，

∴∠DAF=∠DAB+∠CAF+∠BAC=120°．

同理可得：∠DBE=120°，∠ECF=120°，

∴∠AFC=∠ADB=∠BEC=∠DAF=∠DBE=∠ECF=120°，

故圖2中六邊形各角相等；

（3）由（1）、（2）可提出以下猜想：

當n（n≥3，n為整數）是奇數時，各內角都相等的圓內接多邊形是正多邊形；

當n（n≥3，n為整數）時偶數時，各內角都相等的圓內接多邊形不一定為正多邊形．