Question

【題目】如圖1，點A在x軸的負半軸上，點B的坐標為（﹣2，﹣4），拋物線y＝ax2+bx的對稱軸為x＝﹣5，該拋物線經過點A、B，點E是AB與對稱軸x＝﹣5的交點．

（1）如圖1，點P為直線AB下方的拋物線上的任意一點，在對稱軸x＝﹣5上有一動點M，當△ABP的面積最大時，求|PM﹣OM|的最大值以及點P的坐標．

（2）如圖2，把△ABO沿射線BA方向平移，得到△CDF，其中點C、D、F分別是點A、B、O的對應點，且點F與點O不重合，平移過程中，是否存在這樣的點F，使得以點A、E、F為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，直接寫出點F的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）|PM﹣OM|的最大值＝2；P（﹣6，﹣6）；（2）存在，點F的坐標為：（﹣，）或（﹣5，）或（﹣11，）或（﹣14，7）．

【解析】

（1）△ABP的面積S＝×PH×（xB﹣xA）＝（﹣x﹣5﹣x2﹣x）×（10﹣2）＝﹣x2﹣12x﹣20，此時點P（-6，-6），點P關于拋物線對稱軸的對稱點Q（-4，-6），連接OQ交函數對稱軸于點M，則點M為所求，即可求解；

（2）直線AB的表達式為：y=-x-5，當x=-5時，y=-，即點E（-5，-），則設圖線向上平移m個單位，則向左平移2m個單位，故點F（-2m，m），而點A（-10，0），即可求解．

（1）函數的對稱軸為x＝﹣5，則點A（﹣10，0），

則函數表達式為：y＝ax（x+10），將點B的坐標代入上式并解得：a＝，

故拋物線的表達式為：y＝x2+x，

將點A、B的坐標代入一次函數表達式并解得：

直線AB的表達式為：y＝﹣x﹣5，

過點P作x軸的垂線交AB于點H，設點P（x，x2+x）、點H（x，﹣x﹣5），

△ABP的面積S＝×PH×（xB﹣xA）＝（﹣x﹣5﹣x2﹣x）×（10﹣2）＝﹣x2﹣12x﹣20，

∵﹣1＜0，故當x＝﹣6時，S有最大值，此時點P（﹣6，﹣6），

點P關于拋物線對稱軸的對稱點Q（﹣4，﹣6），連接OQ交函數對稱軸于點M，則點M為所求，

同理：直線OQ的表達式為：y＝x，當x＝﹣5時，y＝﹣，即點M（﹣5，﹣）；

|PM﹣OM|的最大值＝OQ＝＝2；

（2）直線AB的表達式為：y＝﹣x﹣5，當x＝﹣5時，y＝﹣，即點E（﹣5，﹣），

則設圖線向上平移m個單位，則向左平移2m個單位，

故點F（﹣2m，m），而點A（﹣10，0），

則AF2＝（10﹣2m）2+m2，EF2＝（2m﹣5）2+（m+）2，AE2＝25+；

①當AF＝EF時，則（10﹣2m）2+m2＝（2m﹣5）2+（m+）2，解得：m＝；

②當AF＝AE時，同理可得：m＝﹣5或﹣11；

③當EF＝AE時，同理可得：m＝0（舍去）或7；

綜上點F的坐標為：（﹣，）或（﹣5，）或（﹣11，）或（﹣14，7）．