Question

【題目】如圖

（1）方法體驗：

如圖1，點P在矩形ABCD的對角線AC上，且不與點A，C重合，過點P分別作邊AB，AD的平行線，交兩組對邊于點E，F和G，H，容易證明四邊形PEDH和四邊形PFBG是面積相等的矩形，分別連結EG，FH．

①根據矩形PEDH和矩形PFBG面積相等的關系，那么PE·PH= ．

②求證：EG∥FH．

（2）方法遷移：

如圖2，已知直線 分別與x軸，y軸交于D，C兩點，與雙曲線 交于A，B兩點． 求證：AC=BD．

（3）知識應用：

如圖3，反比例函數 （x＞0）的圖象與矩形ABCO的邊BC交于點D,與邊AB交于點E, 直線DE與x軸，y軸分別交于點F，G ．若矩形ABCO的面積為10，△ODG與△ODF的面積比為3：5，則k=________．

Answer 1

【答案】（1）①PGPF；②證明見解析；（2）證明見解析；（3）6

【解析】

（1）①矩形PEDH的面積為：PH·PE；矩形PFBG的面積為：PF·PG，由此可得結果；

②PH·PE= PF·PG，可得，可得△EPG∽△FPH，得∠PEG=∠PFH，證得結果；

（2）由k的幾何意義，得四邊形MPAE的面積=四邊形NPBF的面積，可證△APB∽△NPM，MNAB，得四邊形ACMN與四邊形DBMN均是平行四邊形，證得結果；

（3）作DHOA，由面積比得到GD：DF=3:5，由（2）的GD=EF，進一步得到GD，DE，EF的比例關系，設出D（），用DHOGAB，表示出AO，AB的長度，利用矩形面積求出k．

（1）①由圖知：矩形PEDH的面積為：PH·PE；矩形PFBG的面積為：PF·PG，

故答案為：PGPF；

②解：∵PEPH= PGPF

∴ 又∵∠EPG=∠HPF=90°

∴△EPG∽△FPH

∴∠PEG=∠PFH

∴EG∥FH

(方法二，如圖，記FH，EG與AC交與M，N,

則PM=MH，PN=NG,

∴∠MPH=∠MHP, ∠NPG=∠NGP,

又∵∠NPG=∠MPH，

∴∠MHP=∠NGP

∴EG∥FH

（2）解：先利用四邊形OEAN的面積=四邊形OFBM的面積=k的絕對值；

∴四邊形MPAE的面積=四邊形NPBF的面積

∴ 即

又∵∠APB=∠NPM=90°

∴△APB∽△NPM

∴∠ABP=∠PMN

∴MN∥AB

易得四邊形ACMN與四邊形DBMN均是平行四邊形

∴AC=MN=BD

（3）作DHOA于H

∵△ODG與△ODF的面積比為3：5

∴

設，則

由（2）知：

設D（），即

由，得，即

又，得

∴

∴

∴，解得．