Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C點在⊙O上，AD平分∠BAC交⊙O于D，過D作直線AC的垂線，交AC的延長線于E，連接BD，CD．

（1）求證：直線DE是⊙O的切線；

（2）若直徑AB＝6，填空：

①當AD＝　 　時，四邊形ACDO是菱形；

②過D作DH⊥AB，垂足為H，當AD＝　 　時，四邊形AHDE是正方形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①3②3

【解析】

（1）連接，根據平分，和，可證明，再根據即可證明直線是的切線；

（2）①根據四邊形是菱形，可得，得，進而可求的長；

②當，即與重合時，四邊形是正方形，根據勾股定理即可得的長．

（1）證明：如圖，連接OD，

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA，

∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD＝∠OAD，

∴∠CAD＝∠ODA，

∴AC∥OD，

∵DE⊥AE，

∴∠AED＝90°，

∴∠ODE＝90°，

∴DE⊥OD，OD是⊙O的半徑，

∴直線DE是⊙O的切線；

（2）解： ①當時，四邊形是菱形，

理由：四邊形ACDO是菱形時，OD＝CD＝BD＝OB，

∴∠DBA＝60°，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

．

當時，四邊形是菱形．

故答案為：；

②過D作DH⊥AB，垂足為H，當時，四邊形是正方形．

理由：當DH⊥AB，即DH與DO重合時，四邊形AHDE是正方形，

由勾股定理，得．

當時，四邊形是正方形．

故答案為：．