Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，BC上，BABD=BCBE
（1）求證：DEAB=ACBE；
（2）如果AC2=ADAB，求證：AE=AC．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BABD=BCBE，

∴ ，

又∵∠B=∠B，

∴△ABC∽△EBD，

∴ ，

∴DEAB=ACBE；

（2）證明：∵AC2=ADAB，

∴ ，

∵∠DAC=∠CAB，

∴△ADC∽△ACB，

∴∠ACD=∠B，

∵ ，∠B=∠B，

∴△BAE∽△BCD，

∴∠BAE=∠BCD，

∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠ACE=∠ACD+∠BCD，

∴∠AEC=∠ACE，

∴AE=AC．

【解析】（1）由BABD=BCBE得 ，結合∠B=∠B，證△ABC∽△EBD得 ，即可得證；（2）先根據AC2=ADAB證△ADC∽△ACB得∠ACD=∠B，再由 證△BAE∽△BCD得∠BAE=∠BCD，根據∠AEC=∠B+∠BAE，∠ACE=∠ACD+∠BCD可得∠AEC=∠ACE，即可得證．
【考點精析】通過靈活運用相似三角形的判定與性質，掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題．