Question

【題目】如圖，在⊙O中，直徑AB⊥CD，垂足為E，點M在OC上，AM的延長線交⊙O于點G，交過C的直線于F，∠1=∠2，連結CB與DG交于點N．

（1）求證：CF是⊙O的切線；

（2）求證：△ACM∽△DCN；

（3）若點M是CO的中點，⊙O的半徑為4，cos∠BOC=，求BN的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）

【解析】解：（1）證明：∵△BCO中，BO=CO，∴∠B=∠BCO。

在Rt△BCE中，∠2+∠B=900，∠1=∠2，∴∠1+∠BCO=900，即∠FCO=90°。

∵OC是⊙O的半徑，∴CF是⊙O的切線。

（2）證明：∵AB是⊙O直徑，∴∠ACB=∠FCO=900。

∴∠ACB－∠BCO=∠FCO－∠BCO，即∠3=∠1。

∴∠3=∠2。

∵∠4=∠D，∴△ACM∽△DCN。

（3）∵⊙O的半徑為4，即AO=CO=BO=4，

在Rt△COE中，cos∠BOC=，

∴OE=COcos∠BOC=4×=1。∴BE=3，AE=5。

由勾股定理可得：，

。

∵AB是⊙O直徑，AB⊥CD，∴由垂徑定理得：CD=2CE=。

∵點M是CO的中點，∴CM=CO=×4=2

∵△ACM∽△DCN，∴，即。

∴。

（1）根據切線的判定定理得出∠1+∠BCO=900，即可得出答案；

（2）利用已知得出∠3=∠2，∠4=∠D，再利用相似三角形的判定方法得出即可。

（3）根據已知得出OE的長，從而利用勾股定理得出EC，AC，BC的長，即可得出CD，利用（2）中相似三角形的性質得出NB的長即可。